Matriks

Matriks


Definisi Matriks :

Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Sebuah matriks didefinisikan sebagai suatu array atau jajaran dua dimensi yang terdiri dari bilangan-bilangan real atau kompleks dan disusun dalam baris dan kolom. Dalam beberapa situasi, matriks 1x1 (terdiri dari sebuah baris dan sebuah kolom) dianggap sebagai skalar. Vektor adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau satu baris



a11 a12 ……. .a1n

A= a21 a22 ……. .a2n

am1 am2 …….. .a mn





ordo matriks (baris x kolom ) = m x n.

Matriks adalah kumpulan unsur–unsur yang disajikan dalam dua buah kurung (kurung biasa atau kurung siku) dimana setiap unsur dinyatakan dalam baris dan kolom.

Nama suatu matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar atau huruf kapital. Seperti A, B, C, …., dan seterusnya.

Bagian manakah yang disebut baris dari suatu matriks dan bagian mana pula yang disebut kolom dari suatu matriks?

Perhatikan matriks B sebagai berikut;



12 13 1→ elemen-elemen yang terletak pada baris pertama

B =

16 15 0→ elemen-elemen yang terletak pada baris kedua



12 13 1

B =

16 15 0

Elemen-elemen yang terletak pada kolom ketiga



Elemen-elemen yang terletak pada kolom kedua

Elemen-elemen yang terletak pada kolom pertama





Elemen pada baris pertama dan kolom pertama

Elemen pada baris pertama dan kolom kedua

Elemen pada baris pertama dan kolom ketiga

12 13 1

B =

16 15 0

Elemen pada baris kedua dan kolom ketiga

Elemen pada baris kedua dan kolom kedua

Elemen pada baris kedua dan kolom pertama



Berdasarkan pengamatan dalam paparan diatas, pengertian baris, kolom dan elemen suatu matriks dapat diungkapkan sebagai berikut;



Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horizontal dalam suatu matriks.



Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.



Elemen atau unsur dari suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu



Bentuk umum ;

A =

n = banyaknya baris

m = banyaknya kolom



Dibawah adalah contoh dari sebuah matriks;





A =





• Pada baris pertama kita dapatkan : 1 9 4

• Pada baris kedua kita dapatkan : 5 6 7

• Pada kolom pertama kita dapatkan : 1

5

• pada kolom kedua : 9

6

• pada kolom ketiga : 4

7

Jadi matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom. Dikatakan bahwa ordo (ukuran) matriks A adalah 2 x 3. Dan kita dapat menuliskannya A .

Bilangan-bilangan 1, 9, 4, 5, 6, 7 disebut elemen-elemen dari matriks A.

Pada baris pertama dan kolom pertama kita dapatkan elemen 1;

Kita tulis: = 1.

Pada baris kedua dan kolom kedua kita dapatkan elemen 9;

Kita tuliskan: = 9.

Notasi menunjukkan elemen pada baris ke-n dan kolom ke-m.

Sehingga: =7.

















































Operasi Matriks.

Perkalian Matriks

Sebagai gambaran dari proses perkalian matriks, silahkan lihat diagram. Diagram menggambarkan perkalian matriks dengan cara yang umumnya digunakan. Untuk mengalikan matriks a dengan matriks b, maka jumlah kolom matriks a harus sama dengan jumlah baris matriks b. Pada contoh ini matriks a mempunyai 3 kolom, dan matriks b mempunyai 3 baris.



Diagram pertama ini menunjukkan, untuk mendapatkan elemen c1,1 persamaannya adalah :

c1,1 = (a1,1 x b1,1) + (a1,2 x b2,1) + (a1,3 x b3,1)

Dengan penulisan indeks cx,y, dimana x adalah baris, dan y adalah kolom. Contoh ini, bila diganti dengan angka yang ada dalam matriks tersebut menjadi :

9 = (2 x 2) + (2 x 2) + (1 x 1)

Demikian seterusnya untuk mendapatkan hasil perkalian matriks a dan matriks b, lihat dalam urutan diagram berikut ini.













Apabila ditulis dengan rumus matematika yang agak serius :) maka perkalian matriks ditulis seperti berikut



Dimana i adalah indeks untuk baris, j indeks untuk kolom, dan n adalah jumlah kolom matriks a.

Untuk melakukan proses perkalian matriks dengan menggunakan bahasa pemrograman tertentu, kita bisa mengikuti cara (algoritma) yang berlaku di atas. Proses ini melibatkan struktur data berbentuk array, loop, dan operasi perkalian, serta penjumlahan.

Pertama, inisialisasi dulu matriks yang akan dikalikan. Matriks a dan matriks b yang akan dikalikan diisi terlebih dahulu dengan nilai yang diinginkan. Sedangkan matriks c yang merupakan hasil dari perkalian kedua matriks ini, semua eloemennya diinisialisasi dengan nilai 0. Array yang digunakan untuk matriks adalah array 2 dimensi. Setelah inisialisasi data, proses perkalian matriks sudah bisa dilakukan. Dan berikutnya, jika diperlukan, tampilkan hasil perkalian.

Untuk tambahan, jika kita lihat algoritma di atas, berapakah kompleksitasnya? Dari pengamatan sekilas, dengan menggunakan loop sampai kedalaman 3, bisa jadi berbentuk n3. Dengan asumsi bahwa matriks a dan matriks b adalah matriks bujursangkar (n x n), maka perhitungan kompleksitas secara sederhana seperti berikut :

• Proses terdalam c = c + (a x b) memerlukan proses tambah dan kali, dilakukan sebanyak jumlah kolom matriks a, yaitu n. Jadi proses ini memerlukan 2n langkah

• Karena proses ini berada dalam loop di luarnya sebanyak jumlah baris matriks a (sebanyak n), maka langkah sebanyak 2n tadi menjadi 2n x n = 2n2

• Dan masih ada satu loop di luarnya yang dilakukan sebanyak jumlah kolom matriks b (sebanyak n), maka 2n2 x n = 2n3

Jadi secara kasar, memang kompleksitas dengan algoritma ini berorde 3. Dan tentu saja ini perlu sedikit perhatian. Misalnya dengan matriks 2 x 2, kita memerlukan langkah sebanyak 23 = 8. Dan ketika dengan matriks 5 x 5, diperlukan 53 = 125 langkah. Dan ketika dengan matriks 10 x 10, diperlukan 103 = 1000 langkah. Dan jika dengan matriks 100 x 100, diperlukan 1003 = 1000000 langkah!

Determinan Matriks

-

Jika A2x2 =  a b  , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai

Jika A2x2 =  c d 

+


A
= ad - bc

- - -

Jika A3x3 =  a b c  a b

Jika A3x3 =  d e f  d e

Jika A3x3 =  g h i  g h

+ + +

maka determinan matriks A didefinisikan sebagai


A
= aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

Keterangan:

Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.


A
=a e f  - b  d f + c  d e  = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge

 h i  g i   g h 





MATRIKS SATUAN

adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.

Notasi : I (Identitas)

I2  1 0 

 0 1  I3 =  1 0 1 

 0 1 0 

 0 0 1 





Sifat AI = IA = A



MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).

Jika A =  a b  , maka A-1 = 1 =  d -b 

Jika A =  c d  , maka A-1 = ad - bc ttt  -c a 

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A

• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.



Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A-1 = A-1 . A = I

Perluasan

A . B = I  A = B-1 B = A-1

A . B = C  A = C . B-1 B = A-1 . C

Sifat-Sifat

1. (At)t = A

2. (A + B)t = At + Bt

3. (A . B)t = Bt . At

4. (A-t)-t = A

5. (A . B)-1 = B-1 . A-1

6. A . B = C 
A
.
B
=
C














Menyelesaikan sistem persamaan linier

ax + by = p ditulis

cx + dy = q



A X B



 a b   x  =  p 

 c d   y  =  q 

AX = B , maka X = A-1 . B

1. Cara Matriks



 x  = 1 =  d -b   p 

 y  ad - bc  -c a   q 



2. Cara Determinan = =

x = Dx  p b 

 q d  Dy  a p 

 c q 

————— = —————— ; y = ———— = ——————

D  a b 

 c d  D  a b 

c d 







Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.

1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar)

Matriks Perubahan Perubahan

a 

 b  (x,y)  (x+a, y+b) F(x,y) = 0  (x-a, y-b) = 0

Ket :

x' = x + a  x = x' - a

y' = y + b  y = y' -b

2. Sifat:

o Dua buah translasi berturut-turut  a  diteruskan dengan

 b 

dapat digantikan dengan  c  translasi tunggal a + c 

 d   b + d 

o Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.



3. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

Pencerminan terhadap Matriks Perubahan Titik Perubahan fungsi

sumbu-x  1 -0 

 0 -1  (x,y) (x,-y) F(x,y) = 0  F(x,-y) = 0

sumbu -y  -1 0 

 -0 1  (x,y) (-x,y) F(x,y) = 0F(-x,y) = 0

garis y = x  0 1 

 1 0  (x,y)  (y,x) F(x,y) = 0  F(y,x) = 0

garis y = -x  -0 -1

1 -0  (x,y) (-y,-x) F(x,y) = 0  F(-y,-x)= 0

Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1



SIFAT-SIFAT



a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:

 Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.

 Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

 Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

 Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.

 Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.



ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)

rotasi matriks perubahan titik perubahan fungsi

½  0 -1

1 -0  (x,y)(-y,x) F(x,y) = 0F(y,-x) = 0

 -1 0

1 -1  (x,y) (-x,-y) F(x,y) = 0F(-x,-y) = 0

3/2  0 -1

-1 0  (x,y) (y,-x) F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0

 cos -sin

sin cos  (x,y)  (x cos - y sinq, x sin  + y cos )

F(x,y) = 0 F(x cos  + y sin , -x sin  + y cos ) = 0



Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1



SIFAT-SIFAT

. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.

a. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.



Catatan:



Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.



DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)





Matriks Perubahan titik Perubahan fungsi

(0,k) k 0

0 k (x,y)(kx,ky) F(x,y)=0F(x/k,y/k)



Ket.:



(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.



Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:

a. k > 1  A' terletak pada perpanjangan OA

b. 0 < k < 1  A' terletak di antara O dan A

c. k > 0  A' terletak pada perpanjangan AO





TRANSFORMASI LINIER



Ditentukan oleh matriks a b

c d



 x'  =  a b   x 

 y'   c d   y 





 x  = 1   a -b x' 

 y  ad - bcc d  y' 

Perubahan Titik Perubahan Fungsi

(x,y)(ax+by, cx+dy) F(x,y)=0  dx - by , -cx + ay 

ad - bc ad - bc 



Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.







>

KOMPOSISI TRANSFORMASI

Jika A = a b  adalah T1 dan B =  e f  adalah T2

ttt   c d   g h 



maka T2 ° T1 = BA =  e f   a b 

 g h   c d 

 menyatakan transformasi T1 dilanjutkan dengan T2



TRANSFORMASI INVERS

Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M-1 (yaitu jika M-1 ada).



Contoh Soal :